قانون هوك للتعبير عن التوتر من خلال التشوه. تعريف قانون هوك وصيغته
وزارة التعليم في جمهورية القرم المتمتعة بالحكم الذاتي
جامعة توريد الوطنية سميت باسم. فيرنادسكي
دراسة القانون الفيزيائي
قانون هوك
أكملها: طالب في السنة الأولى
كلية الفيزياء غرام. إف-111
بوتابوف يفجيني
سيمفيروبول 2010
يخطط:
العلاقة بين الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون.
بيان القانون
التعبير الرياضي للقانون.
كيف تم اكتشاف القانون: بناء على معطيات تجريبية أم نظرية؟
الوقائع المجربة التي على أساسها صيغ القانون.
التجارب التي تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية.
أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع.
الأدب.
العلاقة بين الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون:
ويرتبط قانون هوك بظواهر مثل الإجهاد وتشوه المعامل الصلب والمرن والاستطالة. يتناسب معامل القوة المرنة الناشئة أثناء تشوه الجسم مع استطالته. الاستطالة هي إحدى خصائص قابلية تشوه المادة، ويتم تقييمها من خلال الزيادة في طول عينة من هذه المادة عند تمددها. القوة المرنة هي القوة التي تنشأ أثناء تشوه الجسم وتقاوم هذا التشوه. الإجهاد هو مقياس للقوى الداخلية التي تنشأ في الجسم المشوه تحت تأثير التأثيرات الخارجية. التشوه هو تغيير في الموضع النسبي لجزيئات الجسم المرتبط بحركتها بالنسبة لبعضها البعض. ترتبط هذه المفاهيم بما يسمى بمعامل الصلابة. يعتمد ذلك على الخصائص المرنة للمادة وحجم الجسم.
بيان القانون:
قانون هوك هو معادلة لنظرية المرونة التي تربط بين الإجهاد والتشوه في الوسط المرن.
صياغة القانون هي أن القوة المرنة تتناسب طرديا مع التشوه.
التعبير الرياضي للقانون:
بالنسبة لقضيب الشد الرفيع، يكون قانون هوك على الشكل التالي:
هنا Fقوة شد القضيب، Δ ل- استطالة (ضغط)، و كمُسَمًّى معامل المرونة(أو الصلابة). يشير الطرح في المعادلة إلى أن قوة الشد موجهة دائمًا في الاتجاه المعاكس للتشوه.
إذا قمت بإدخال الاستطالة النسبية
والإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي
عندها سيتم كتابة قانون هوك بهذا الشكل
في هذا النموذج يكون صالحًا لأي كميات صغيرة من المادة.
في الحالة العامة، يعتبر الإجهاد والانفعال موترات من المرتبة الثانية في الفضاء ثلاثي الأبعاد (يحتوي كل منهما على 9 مكونات). موتر الثوابت المرنة التي تربط بينها هو موتر من المرتبة الرابعة ج ijklويحتوي على 81 معاملا. بسبب تماثل الموتر ج ijklبالإضافة إلى موترات الإجهاد والانفعال، هناك 21 ثابتًا فقط مستقلة. يبدو قانون هوك كما يلي:
حيث σ اي جاي- موتر الإجهاد، - موتر الإجهاد. بالنسبة للمادة المتناحية، الموتر ج ijklيحتوي على معاملين مستقلين فقط.
كيف تم اكتشاف القانون: بناء على المعطيات التجريبية أو النظرية:
تم اكتشاف القانون عام 1660 على يد العالم الإنجليزي روبرت هوك (هوك) بناءً على الملاحظات والتجارب. الاكتشاف، كما ذكر هوك في عمله “De Potentia Restitutiva”، المنشور عام 1678، تم على يده قبل 18 عامًا، وفي عام 1676 تم وضعه في كتاب آخر من كتبه تحت ستار الجناس الناقص “ceiiinosssttuv”، بمعنى "Ut Tensio sic vis". وفقًا لشرح المؤلف، فإن قانون التناسب المذكور أعلاه لا ينطبق على المعادن فحسب، بل ينطبق أيضًا على الخشب والأحجار والقرون والعظام والزجاج والحرير والشعر وما إلى ذلك.
الحقائق المجربة التي تم على أساسها صياغة القانون:
والتاريخ صامت عن هذا..
تجارب تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية:
تمت صياغة القانون على أساس البيانات التجريبية. في الواقع، عند تمديد الجسم (السلك) بمعامل صلابة معين كإلى مسافة Δ ل،عندها سيكون منتجهم مساويا لقوة شد الجسم (السلك). ومع ذلك، فإن هذه العلاقة لن تنطبق على جميع التشوهات، بل على التشوهات الصغيرة. مع التشوهات الكبيرة، يتوقف قانون هوك عن التطبيق وينهار الجسم.
أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع:
كما يلي من قانون هوك، يمكن استخدام استطالة الزنبرك للحكم على القوة المؤثرة عليه. تُستخدم هذه الحقيقة لقياس القوى باستخدام مقياس القوة - زنبرك بمقياس خطي تمت معايرته لقيم قوة مختلفة.
الأدب.
1. موارد الإنترنت: - موقع ويكيبيديا (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).
2. كتاب مدرسي عن الفيزياء بيريشكين أ.ف. الصف التاسع
3. كتاب مدرسي عن الفيزياء V.A. كاسيانوف الصف العاشر
4. محاضرات في الميكانيكا ريابوشكين د.س.
تم اكتشاف قانون هوك في القرن السابع عشر على يد الإنجليزي روبرت هوك. يعد هذا الاكتشاف حول تمدد الزنبرك أحد قوانين نظرية المرونة ويلعب دورًا مهمًا في العلوم والتكنولوجيا.
تعريف وصيغة قانون هوك
وصياغة هذا القانون هي كما يلي: القوة المرنة التي تظهر في لحظة تشوه الجسم تتناسب مع استطالة الجسم وموجهة عكس حركة جزيئات هذا الجسم بالنسبة إلى الجزيئات الأخرى أثناء التشوه.
يبدو التدوين الرياضي للقانون كما يلي:
أرز. 1. صيغة قانون هوك
أين فوبر- وفقا لذلك، القوة المرنة، س– استطالة الجسم (المسافة التي يتغير بها الطول الأصلي للجسم)، و ك- معامل التناسب ويسمى بصلابة الجسم. تقاس القوة بالنيوتن، ويقاس استطالة الجسم بالأمتار.
للكشف عن المعنى المادي للصلابة، تحتاج إلى استبدال الوحدة التي يتم فيها قياس الاستطالة في صيغة قانون هوك - 1 م، بعد أن حصلت مسبقًا على تعبير لـ k.
أرز. 2. صيغة تصلب الجسم
توضح هذه الصيغة أن صلابة الجسم تساوي عدديا القوة المرنة التي تحدث في الجسم (الزنبرك) عندما يتشوه بمقدار 1 م. ومن المعروف أن صلابة الزنبرك تعتمد على شكله وحجمه والمادة الذي يتكون منه الجسم .
قوة مرنة
الآن بعد أن عرفنا ما هي الصيغة التي تعبر عن قانون هوك، فمن الضروري أن نفهم قيمته الأساسية. الكمية الرئيسية هي القوة المرنة. ويظهر في لحظة معينة عندما يبدأ الجسم بالتشوه، على سبيل المثال، عندما يتم ضغط الزنبرك أو تمديده. يتم توجيهه في الاتجاه المعاكس للجاذبية. عندما تتساوى القوة المرنة وقوة الجاذبية المؤثرة على الجسم، يتوقف الدعم والجسم.
التشوه هو تغير لا رجعة فيه يحدث في حجم الجسم وشكله. وترتبط بحركة الجزيئات بالنسبة لبعضها البعض. إذا جلس الإنسان على كرسي ناعم سيحدث تشوه للكرسي أي ستتغير خصائصه. ويأتي في أنواع مختلفة: الانحناء، والتمدد، والضغط، والقص، والالتواء.
وبما أن القوة المرنة مرتبطة في الأصل بالقوى الكهرومغناطيسية، فيجب أن تعلم أنها تنشأ نتيجة لأن الجزيئات والذرات - أصغر الجزيئات التي تتكون منها جميع الأجسام - تتجاذب وتتنافر. إذا كانت المسافة بين الجزيئات صغيرة جدًا، فإنها تتأثر بقوة التنافر. إذا زادت هذه المسافة، فإن قوة الجذب ستعمل عليها. وهكذا، فإن الفرق بين القوى الجذابة والتنافرية يتجلى في القوى المرنة.
تشمل القوة المرنة قوة رد الفعل الأرضي ووزن الجسم. قوة رد الفعل لها أهمية خاصة. هذه هي القوة التي تؤثر على الجسم عند وضعه على أي سطح. إذا كان الجسم معلقًا، فإن القوة المؤثرة عليه تسمى قوة شد الخيط.
ملامح القوى المرنة
كما اكتشفنا بالفعل، تنشأ القوة المرنة أثناء التشوه، وتهدف إلى استعادة الأشكال والأحجام الأصلية بشكل متعامد تمامًا مع السطح المشوه. تتمتع القوى المرنة أيضًا بعدد من الميزات.
- أنها تنشأ أثناء التشوه.
- تظهر في جسمين مشوهين في وقت واحد؛
- فهي متعامدة مع السطح الذي يتشوه الجسم بالنسبة إليه.
- فهي معاكسة في الاتجاه لإزاحة جزيئات الجسم.
تطبيق القانون على أرض الواقع
يتم تطبيق قانون هوك في كل من الأجهزة التقنية وعالية التقنية وفي الطبيعة نفسها. على سبيل المثال، توجد القوى المرنة في آليات المراقبة، وفي ممتصات الصدمات في وسائل النقل، وفي الحبال، والأشرطة المطاطية، وحتى في العظام البشرية. مبدأ قانون هوك هو الأساس لمقياس الدينامومتر، وهو جهاز يستخدم لقياس القوة.
وتبين الملاحظات أنه بالنسبة لمعظم الأجسام المرنة، مثل الفولاذ والبرونز والخشب وغيرها، فإن حجم التشوهات يتناسب مع حجم القوى المؤثرة. أحد الأمثلة النموذجية التي تشرح هذه الخاصية هو الميزان الزنبركي، حيث تتناسب استطالة الزنبرك مع القوة المؤثرة. ويمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أن مقياس تقسيم هذه المقاييس موحد. كخاصية عامة للأجسام المرنة، تم صياغة قانون التناسب بين القوة والتشوه لأول مرة من قبل ر. هوك في عام 1660 ونشر في عام 1678 في عمله "De Potentia Restitutiva". في الصياغة الحديثة لهذا القانون، لا يتم النظر في القوى والحركات لنقاط تطبيقها، بل الإجهاد والتشوه.
وبالتالي، بالنسبة للتوتر النقي يفترض:
هنا هو الاستطالة النسبية لأي قطعة مأخوذة في اتجاه التمدد. على سبيل المثال، إذا كانت الأضلاع الموضحة في الشكل. 11. كان المنشور قبل تطبيق الحمل هو a وb وc، كما هو موضح في الرسم، وبعد التشوه سيكون على التوالي، إذن.
ويسمى الثابت E، الذي له بعد الإجهاد، بمعامل المرونة، أو معامل يونغ.
يصاحب توتر العناصر الموازية للضغوط التمثيلية تقلص العناصر المتعامدة، أي انخفاض في الأبعاد العرضية للقضيب (الأبعاد في الرسم). سلالة عرضية نسبية
ستكون قيمة سلبية. اتضح أن التشوهات الطولية والعرضية في الجسم المرن ترتبط بنسبة ثابتة:
الكمية بدون أبعاد v، الثابتة لكل مادة، تسمى نسبة الضغط الجانبي أو نسبة بواسون. يعتقد بواسون نفسه، انطلاقًا من الاعتبارات النظرية التي تبين فيما بعد أنها غير صحيحة، أنه بالنسبة لجميع المواد (1829). في الواقع، قيم هذا المعامل مختلفة. نعم للصلب
استبدال التعبير في الصيغة الأخيرة التي نحصل عليها:
قانون هوك ليس قانونًا دقيقًا. بالنسبة للصلب، تكون الانحرافات عن التناسب ضئيلة، بينما من الواضح أن الحديد الزهر أو النحت لا يخضع لهذا القانون. بالنسبة لهم، ولا يمكن تقريبها بواسطة دالة خطية إلا في أقسى التقريب.
لفترة طويلة، كانت قوة المواد معنية فقط بالمواد التي تخضع لقانون هوك، ولا يمكن تطبيق صيغ قوة المواد على الأجسام الأخرى إلا بحذر كبير. حاليًا، بدأت دراسة قوانين المرونة غير الخطية وتطبيقها لحل مشكلات محددة.
8.2. القوانين الأساسية المستخدمة في قوة المواد
العلاقات الساكنة. وهي مكتوبة في شكل معادلات التوازن التالية.
قانون هوك ( 1678): كلما زادت القوة، زاد التشوه، وبتناسب مباشر مع القوة. فيزيائياً، هذا يعني أن جميع الأجسام عبارة عن نوابض، ولكن بصلابة كبيرة. عندما يتم تمديد الشعاع ببساطة بقوة طولية ن= Fويمكن كتابة هذا القانون على النحو التالي:
هنا 
القوة الطولية, ل- طول الشعاع، أ- مساحة مقطعها، ه- معامل المرونة من النوع الأول ( معامل يونج).
مع الأخذ في الاعتبار صيغ الإجهادات والانفعالات، يُكتب قانون هوك على النحو التالي: 
.
ولوحظ وجود علاقة مماثلة في التجارب بين الضغوط العرضية وزاوية القص:
.
ز
مُسَمًّىمعامل القص
، في كثير من الأحيان – معامل المرونة من النوع الثاني. مثل أي قانون، فإن قانون هوك له أيضًا حدود للتطبيق. الجهد االكهربى 
، والذي يصل إلى قانون هوك صالحا، يسمى حد التناسب(وهذه هي أهم خاصية في قوة المواد).
دعونا تصور التبعية
من
بيانيا (الشكل 8.1). هذه الصورة تسمى مخطط تمتد
. بعد النقطة ب (أي في 
) يتوقف هذا الاعتماد عن أن يكون خطيًا.
في 
بعد التفريغ تظهر التشوهات المتبقية في الجسم 
مُسَمًّى حد المرونة
.
عندما يصل الجهد إلى القيمة σ = σ t، تبدأ العديد من المعادن في إظهار خاصية تسمى سيولة. وهذا يعني أنه حتى في ظل الحمل المستمر، تستمر المادة في التشوه (أي أنها تتصرف كالسائل). بيانياً، هذا يعني أن المخطط موازٍ للإحداثي السيني (القسم DL). يسمى الجهد σ t الذي تتدفق عنده المادة قوة الخضوع .
بعض المواد (St. 3 - فولاذ البناء) بعد تدفق قصير تبدأ في المقاومة مرة أخرى. تستمر مقاومة المادة حتى قيمة قصوى معينة σ pr، ثم يبدأ التدمير التدريجي. تسمى الكمية σ pr قوة الشد (مرادف للصلب: قوة الشد، للخرسانة - قوة مكعبة أو منشورية). يتم أيضًا استخدام التسميات التالية:
=ر ب
ولوحظ وجود علاقة مماثلة في التجارب بين ضغوط القص والمقصات.
3) قانون دوهاميل-نيومان (التمدد الحراري الخطي):
في حالة وجود اختلاف في درجات الحرارة، يتغير حجم الأجسام، وبتناسب طردي مع هذا الاختلاف في درجات الحرارة.
يجب أن يكون هناك اختلاف في درجة الحرارة 
. ثم يبدو هذا القانون كما يلي:
هنا α - معامل التمدد الحراري الخطي, ل - طول القضيب، Δ ل- تطويله.
4) قانون الزحف .
أظهرت الأبحاث أن جميع المواد غير متجانسة للغاية في المناطق الصغيرة. يظهر الهيكل التخطيطي للصلب في الشكل 8.2.
تتمتع بعض المكونات بخصائص السائل، لذلك تتلقى العديد من المواد تحت الحمل استطالة إضافية بمرور الوقت 
(الشكل 8.3) (المعادن في درجات الحرارة المرتفعة والخرسانة والخشب والبلاستيك - في درجات الحرارة العادية). وتسمى هذه الظاهرة زحفمادة.
قانون السوائل هو: كلما زادت القوة، زادت سرعة حركة الجسم في السائل. إذا كانت هذه العلاقة خطية (أي أن القوة تتناسب مع السرعة)، فيمكن كتابتها على النحو التالي:
ه 
إذا انتقلنا إلى القوى النسبية والاستطالات النسبية، فسنحصل على
هنا الفهرس " سجل تجاري
"يعني أن جزء الاستطالة الذي يحدث بسبب زحف المادة يعتبر معتبراً. الخصائص الميكانيكية 
يسمى معامل اللزوجة.
قانون الحفاظ على الطاقة.
النظر في شعاع محملة
دعونا نقدم مفهوم تحريك نقطة، على سبيل المثال،
- الحركة الرأسية للنقطة ب؛
- الإزاحة الأفقية للنقطة C.
القوى 
أثناء القيام ببعض الأعمال ش.
معتبرا أن القوات 
نبدأ في الزيادة تدريجياً وبافتراض أنها تزيد بما يتناسب مع الإزاحات نحصل على:
.
حسب قانون الحفظ : فلا يوجد عمل يختفي، بل يُنفق في عمل آخر أو يتحول إلى طاقة أخرى (طاقة- هذا هو العمل الذي يمكن للجسم القيام به.).
عمل القوات 
، يتم إنفاقه على التغلب على مقاومة القوى المرنة الناشئة في أجسامنا. لحساب هذا العمل، نأخذ في الاعتبار أنه يمكن اعتبار الجسم مكونًا من جزيئات مرنة صغيرة. دعونا نفكر في واحد منهم:
إنه عرضة للتوتر من الجزيئات المجاورة 
. سيكون الضغط الناتج 
تحت تأثير 
سوف يستطيل الجسيم. وفقا للتعريف، الاستطالة هي الاستطالة لكل وحدة الطول. ثم:
دعونا نحسب العمل دي دبليو، وهو ما تفعله القوة DN (هنا يؤخذ في الاعتبار أيضًا أن القوى DNتبدأ في الزيادة تدريجياً وتزداد بشكل متناسب مع الحركات):
للجسم كله نحصل على:
.
وظيفة دبليوالتي ارتكبت 
، مُسَمًّى طاقة التشوه المرنة.
حسب قانون حفظ الطاقة :
6)مبدأ الحركات الممكنة .
هذا هو أحد الخيارات لكتابة قانون الحفاظ على الطاقة.
دع القوى تعمل على الشعاع F 1
,
F 2
,
…
. أنها تسبب حركة النقاط في الجسم 
والجهد 
. دعونا نعطي الجسم حركات صغيرة إضافية محتملة
. في الميكانيكا، تدوين النموذج 
تعني عبارة "القيمة المحتملة للكمية". أ" هذه الحركات المحتملة سوف تسبب الجسم التشوهات المحتملة الإضافية
. سوف تؤدي إلى ظهور قوى وضغوط خارجية إضافية 
,
δ.
دعونا نحسب عمل القوى الخارجية على عمليات إزاحة صغيرة محتملة إضافية:
هنا 
- حركات إضافية لتلك النقاط التي يتم تطبيق القوى عليها F 1
,
F 2
,
…
فكر مرة أخرى في عنصر صغير ذو مقطع عرضي دا والطول dz (انظر الشكل 8.5 و8.6). وفقا للتعريف، استطالة إضافية dzيتم حساب هذا العنصر بواسطة الصيغة:
dz= dz.
قوة الشد للعنصر ستكون:
DN = (+δ) دا ≈ دا..
يتم حساب عمل القوى الداخلية على الإزاحات الإضافية لعنصر صغير كما يلي:
dW = dN دي زي = دا دي زي = العنف المنزلي
مع 
بتلخيص طاقة التشوه لجميع العناصر الصغيرة نحصل على طاقة التشوه الإجمالية:
قانون الحفاظ على الطاقة دبليو = شيعطي:
.
وتسمى هذه النسبة مبدأ الحركات الممكنة(ويسمى أيضا مبدأ الحركات الافتراضية).وبالمثل، يمكننا النظر في الحالة التي تعمل فيها ضغوط القص أيضًا. ثم يمكننا الحصول على ذلك لطاقة التشوه دبليوسيتم إضافة المصطلح التالي:
هنا هو إجهاد القص، هو إزاحة العنصر الصغير. ثم مبدأ الحركات الممكنةسوف تأخذ النموذج:
وخلافا للصيغة السابقة لكتابة قانون حفظ الطاقة، لا يوجد هنا افتراض بأن القوى تبدأ في الزيادة تدريجيا، وأنها تزيد بما يتناسب مع الإزاحات
7) تأثير بواسون.
دعونا نفكر في نمط استطالة العينة:
تسمى ظاهرة تقصير أحد عناصر الجسم في اتجاه الاستطالة تأثير بواسون.
دعونا نجد التشوه النسبي الطولي.
التشوه النسبي المستعرض سيكون:
نسبة بواسونتسمى الكمية :
بالنسبة للمواد المتناحية (الصلب والحديد الزهر والخرسانة) نسبة بواسون
وهذا يعني أنه في الاتجاه العرضي التشوه أقلطولية
ملحوظة
: يمكن للتقنيات الحديثة إنشاء مواد مركبة بنسبة بواسون> 1، أي أن التشوه العرضي سيكون أكبر من التشوه الطولي. على سبيل المثال، هذا هو الحال بالنسبة لمادة معززة بألياف صلبة بزاوية منخفضة 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
، أي. الأقل 
كلما كانت نسبة بواسون أكبر.
الشكل 8.8. الشكل 8.9
والأكثر إثارة للدهشة هو المادة الموضحة في (الشكل 8.9)، ولهذا التعزيز هناك نتيجة متناقضة - الاستطالة الطولية تؤدي إلى زيادة حجم الجسم في الاتجاه العرضي.
8) قانون هوك المعمم.
لنفكر في عنصر يمتد في الاتجاهين الطولي والعرضي. دعونا نجد التشوه الذي يحدث في هذه الاتجاهات. 
دعونا نحسب التشوه 
الناشئة عن الفعل 
:
دعونا ننظر في التشوه من العمل 
والتي تنشأ نتيجة لتأثير بواسون:
التشوه العام سيكون:
إذا صالحة و 
، ثم سيتم إضافة تقصير آخر في اتجاه المحور x 
.
لذلك: 
على نفس المنوال: 
وتسمى هذه العلاقات قانون هوك المعمم.
ومن المثير للاهتمام أنه عند كتابة قانون هوك، يتم الافتراض حول استقلال سلالات الاستطالة عن سلالات القص (الاستقلال عن إجهادات القص، وهو نفس الشيء) والعكس صحيح. التجارب تؤكد جيدا هذه الافتراضات. وبالنظر إلى المستقبل، نلاحظ أن القوة، على العكس من ذلك، تعتمد بقوة على مزيج من الضغوط العرضية والعادية.
ملحوظة: تم تأكيد القوانين والافتراضات المذكورة أعلاه من خلال العديد من التجارب المباشرة وغير المباشرة، ولكن، مثل جميع القوانين الأخرى، لديها نطاق محدود من التطبيق.
عند تمديد قضيب وضغطه، يتغير طوله وأبعاد مقطعه العرضي. إذا قمت عقليًا بعزل عنصر طول من قضيب في حالة غير مشوهة دي إكس,ثم بعد التشوه سيكون طوله مساوياً دي إكس ((الشكل 3.6). في هذه الحالة، الاستطالة المطلقة في اتجاه المحور أوهسوف تكون متساوية
والتشوه الخطي النسبي السابقيتم تحديده بالمساواة
لأن المحور أوهيتزامن مع محور القضيب الذي تؤثر عليه الأحمال الخارجية، دعنا نسميه التشوه السابقالتشوه الطولي، والذي سنحذف فيه الفهرس أيضًا. تسمى التشوهات في الاتجاهات المتعامدة مع المحور بالتشوهات المستعرضة. إذا نشير بـ بالحجم المميز للمقطع العرضي (الشكل 3.6)، ثم يتم تحديد التشوه العرضي من خلال العلاقة 
التشوهات الخطية النسبية هي كميات بلا أبعاد. لقد ثبت أن التشوهات العرضية والطولية أثناء التوتر المركزي وضغط القضيب ترتبط ببعضها البعض من خلال العلاقة
تسمى الكمية v المضمنة في هذه المساواة نسبة بواسونأو معامل الانفعال العرضي. يعد هذا المعامل أحد الثوابت المرنة الرئيسية للمادة ويميز قدرتها على الخضوع للتشوهات العرضية. يتم تحديدها لكل مادة من خلال تجربة الشد أو الضغط (انظر الفقرة 3.5) ويتم حسابها باستخدام الصيغة
على النحو التالي من المساواة (3.6)، فإن التشوهات الطولية والعرضية لها دائمًا علامات معاكسة، مما يؤكد الحقيقة الواضحة - أثناء التوتر، تنخفض أبعاد المقطع العرضي، وأثناء الضغط تزداد.
تختلف نسبة بواسون باختلاف المواد. بالنسبة للمواد المتناحية، يمكن أن تأخذ قيمًا تتراوح من 0 إلى 0.5. على سبيل المثال، بالنسبة لخشب البلسا، تكون نسبة بواسون قريبة من الصفر، وبالنسبة للمطاط فهي قريبة من 0.5. بالنسبة للعديد من المعادن في درجات الحرارة العادية، تتراوح نسبة بواسون بين 0.25+0.35.
كما ثبت في العديد من التجارب، بالنسبة لمعظم المواد الإنشائية ذات التشوهات الصغيرة، توجد علاقة خطية بين الضغوط والانفعالات
تم وضع قانون التناسب هذا لأول مرة من قبل العالم الإنجليزي روبرت هوك ويسمى قانون هوك.
الثابت المتضمن في قانون هوك هيسمى معامل المرونة . المعامل المرن هو الثابت المرن الرئيسي الثاني للمادة ويميز صلابتها. وبما أن التشوهات هي كميات لا أبعاد لها، فإنه يترتب على (3.7) أن معامل المرونة له بعد الإجهاد.
في الجدول يوضح الجدول 3.1 قيم معامل المرونة ونسبة بواسون للمواد المختلفة.
عند تصميم وحساب الهياكل، إلى جانب حساب الضغوط، من الضروري أيضًا تحديد إزاحات النقاط والعقد الفردية للهياكل. دعونا نفكر في طريقة لحساب الإزاحات أثناء التوتر المركزي وضغط القضبان.
الاستطالة المطلقة لطول العنصر dx(الشكل 3.6) حسب الصيغة (3.5) يساوي
الجدول 3.1
|
اسم المادة |
معامل المرونة، MPa |
معامل في الرياضيات او درجة بواسون |
|
الصلب الكربوني |
||
|
سبائك الألومنيوم |
||
|
سبائك التيتانيوم |
||
|
(1.15-ق-1.6) 10 5 |
||
|
على طول الحبوب |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
عبر الحبوب |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
البناء بالطوب |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
الألياف الزجاجية SVAM |
||
|
تكستوليت |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
مطاط على مطاط |
بدمج هذا التعبير على المدى من 0 إلى x، نحصل على
أين هُم) - الإزاحة المحورية لقسم تعسفي (الشكل 3.7)، و ج = ش( 0) - الإزاحة المحورية للقسم الأولي س = 0.إذا كان هذا القسم ثابتًا، فإن u(0) = 0 وتكون إزاحة القسم التعسفي مساوية لـ
استطالة أو تقصير القضيب يساوي الإزاحة المحورية لنهايته الحرة (الشكل 3.7)، والتي يتم الحصول على قيمتها من (3.8)، مع الأخذ س = 1:
استبدال التعبير عن التشوه في الصيغة (3.8)؟ من قانون هوك (3.7)، نحصل عليها
لقضيب مصنوع من مادة ذات معامل مرونة ثابت هيتم تحديد الحركات المحورية بواسطة الصيغة
يمكن حساب التكامل المتضمن في هذه المساواة بطريقتين. الطريقة الأولى هي كتابة الدالة بشكل تحليلي أوه)والتكامل اللاحق. الطريقة الثانية تعتمد على أن التكامل قيد النظر يساوي عدديا مساحة المخطط a في القسم .التعريف بالتسمية
دعونا ننظر في حالات خاصة. لقضيب ممتد بقوة مركزة ر(أرز. 3.3، أ)،القوة الطولية./V ثابتة على طول الطول وتساوي ر.كما أن الجهود a طبقاً لـ (3.4) ثابتة ومتساوية 
ثم من (3.10) نحصل عليها
ويترتب على هذه الصيغة أنه إذا كانت الضغوط على جزء معين من القضيب ثابتة، فإن الإزاحات تتغير وفقا لقانون خطي. الاستبدال في الصيغة الأخيرة س = 1،لنجد استطالة القضيب:
عمل إي إفمُسَمًّى صلابة القضيب في التوتر والضغط.وكلما زادت هذه القيمة، قل استطالة القضيب أو قصره.
لنفكر في قضيب تحت تأثير حمل موزع بشكل موحد (الشكل 3.8). القوة الطولية في مقطع تعسفي يقع على مسافة x من التثبيت تساوي
بقسمة نعلى F،نحصل على صيغة الضغوط
بالتعويض بهذا التعبير في (3.10) والتكامل نجد
يتم الحصول على أكبر إزاحة، تساوي استطالة القضيب بأكمله، عن طريق استبدال x = / in (3.13):
من الصيغتين (3.12) و (3.13) يتضح أنه إذا كانت الضغوط تعتمد خطيًا على x، فإن الإزاحات تتغير وفقًا لقانون القطع المكافئ المربع. المخططات ن،حول و ويظهر في الشكل. 3.8.
وظائف ربط الاعتماد التفاضلي العام هُم)ويمكن الحصول على (x) من العلاقة (3.5). بالتعويض بـ e من قانون هوك (3.7) في هذه العلاقة نجد
ومن هذا الاعتماد تتبع، على وجه الخصوص، أنماط التغييرات في الوظيفة المذكورة في الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه هُم).
وبالإضافة إلى ذلك، يمكن الإشارة إلى أنه إذا كان في أي قسم يؤكد بدوره إلى الصفر، ثم في الرسم التخطيطي وقد يكون هناك أقصى في هذا القسم.
على سبيل المثال، دعونا نبني رسما تخطيطيا وللقضيب الموضح في الشكل 3.2، وضع ه- 10 4 ميجا باسكال. حساب مساحة قطعة أرض ياوفي مناطق مختلفة نجد:
القسم س = 1 م:
القسم س = 3 م:
القسم س = 5 م:
في الجزء العلوي من مخطط القضيب وهو قطع مكافئ مربع (الشكل 3.2، ه).في هذه الحالة، في القسم x = 1 m يوجد حد أقصى. في القسم السفلي، طبيعة الرسم البياني خطية.
الاستطالة الكلية للقضيب، والتي في هذه الحالة تساوي
يمكن حسابها باستخدام الصيغ (3.11) و (3.14). منذ الجزء السفلي من القضيب (انظر الشكل 3.2، أ)امتدت بالقوة ص (امتداده حسب (3.11) يساوي
عمل القوة ص (وينتقل أيضًا إلى القسم العلوي من القضيب. بالإضافة إلى ذلك، يتم ضغطه بالقوة ص 2ويمتد بواسطة حمولة موزعة بشكل موحد س.ووفقا لهذا، يتم حساب التغيير في طوله بواسطة الصيغة
بتلخيص قيم A/ و A/2 نحصل على نفس النتيجة المذكورة أعلاه.
في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من كمية الإزاحة الصغيرة والاستطالة (التقصير) للقضبان أثناء الشد والضغط، إلا أنه من المستحيل إهمالها. تعد القدرة على حساب هذه الكميات مهمة في العديد من المشكلات التكنولوجية (على سبيل المثال، عند تركيب الهياكل)، وكذلك لحل المشكلات غير المحددة بشكل ثابت.