Ley de Hooke de expresión de tensiones mediante deformación. Definición y fórmula de la ley de Hooke
Ministerio de Educación de la República Autónoma de Crimea
Universidad Nacional Tauride que lleva el nombre. Vernadsky
Estudio de la ley física.
LEY DE HOOKE
Realizado por: estudiante de 1er año
Facultad de Física gr. F-111
Evgeniy Potapov
Simferópol-2010
Plan:
La conexión entre qué fenómenos o cantidades se expresa mediante la ley.
Declaración de la ley
Expresión matemática de la ley.
¿Cómo se descubrió la ley: basándose en datos experimentales o teóricamente?
Hechos experimentados a partir de los cuales se formuló la ley.
Experimentos que confirman la validez de la ley formulada sobre la base de la teoría.
Ejemplos de uso de la ley y teniendo en cuenta el efecto de la ley en la práctica.
Literatura.
La relación entre qué fenómenos o cantidades se expresa mediante la ley:
La ley de Hooke relaciona fenómenos como la tensión y la deformación de un sólido, el módulo elástico y el alargamiento. El módulo de la fuerza elástica que surge durante la deformación de un cuerpo es proporcional a su alargamiento. El alargamiento es una característica de la deformabilidad de un material, evaluada por el aumento de la longitud de una muestra de este material cuando se estira. La fuerza elástica es una fuerza que surge durante la deformación de un cuerpo y contrarresta esta deformación. El estrés es una medida de las fuerzas internas que surgen en un cuerpo deformable bajo la influencia de influencias externas. La deformación es un cambio en la posición relativa de las partículas de un cuerpo asociado con su movimiento entre sí. Estos conceptos están relacionados por el llamado coeficiente de rigidez. Depende de las propiedades elásticas del material y del tamaño del cuerpo.
Declaración de la ley:
La ley de Hooke es una ecuación de la teoría de la elasticidad que relaciona la tensión y la deformación de un medio elástico.
La formulación de la ley es que la fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación.
Expresión matemática de la ley:
Para una varilla de tracción delgada, la ley de Hooke tiene la forma:
Aquí F fuerza de tensión de la varilla, Δ yo- su alargamiento (compresión), y k llamado coeficiente de elasticidad(o rigidez). El menos en la ecuación indica que la fuerza de tensión siempre se dirige en la dirección opuesta a la deformación.
Si ingresa el alargamiento relativo
y tensión normal en la sección transversal
entonces la ley de Hooke se escribirá así
De esta forma es válido para cualquier pequeño volumen de materia.
En el caso general, la tensión y la deformación son tensores de segundo rango en el espacio tridimensional (tienen 9 componentes cada uno). El tensor de constantes elásticas que las conecta es un tensor de cuarto rango. C ijkl y contiene 81 coeficientes. Debido a la simetría del tensor. C ijkl, así como los tensores de tensión y deformación, sólo 21 constantes son independientes. La ley de Hooke se ve así:
donde σ yo- tensor de tensión, - tensor de deformación. Para un material isotrópico, el tensor C ijkl contiene sólo dos coeficientes independientes.
Cómo se descubrió la ley: basándose en datos experimentales o teóricamente:
La ley fue descubierta en 1660 por el científico inglés Robert Hooke (Hook) basándose en observaciones y experimentos. El descubrimiento, como afirma Hooke en su obra “De potentia restitutiva”, publicada en 1678, fue realizado por él mismo 18 años antes, y en 1676 fue incluido en otro de sus libros bajo la apariencia del anagrama “ceiiinosssttuv”, que significa “Ut tensio sic vis”. Según la explicación del autor, la ley de proporcionalidad anterior se aplica no sólo a los metales, sino también a la madera, las piedras, el cuerno, los huesos, el vidrio, la seda, el cabello, etc.
Hechos experimentados sobre cuya base se formuló la ley:
La historia guarda silencio sobre esto...
Experimentos que confirman la validez de la ley formulada sobre la base de la teoría:
La ley se formula sobre la base de datos experimentales. De hecho, al estirar un cuerpo (alambre) con un cierto coeficiente de rigidez k a una distancia Δ yo, entonces su producto será igual en magnitud a la fuerza que estira el cuerpo (cable). Sin embargo, esta relación será válida no para todas las deformaciones, sino para las pequeñas. Con grandes deformaciones, la ley de Hooke deja de aplicarse y el cuerpo colapsa.
Ejemplos de uso de la ley y teniendo en cuenta el efecto de la ley en la práctica:
Como se desprende de la ley de Hooke, el alargamiento de un resorte se puede utilizar para juzgar la fuerza que actúa sobre él. Este hecho se utiliza para medir fuerzas utilizando un dinamómetro, un resorte con una escala lineal calibrada para diferentes valores de fuerza.
Literatura.
1. Recursos de Internet: - Sitio web de Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).
2. libro de texto de física Peryshkin A.V. Noveno grado
3. libro de texto de física V.A. Kasyanov décimo grado
4. conferencias sobre mecánica Ryabushkin D.S.
La ley de Hooke fue descubierta en el siglo XVII por el inglés Robert Hooke. Este descubrimiento sobre el estiramiento de un resorte es una de las leyes de la teoría de la elasticidad y juega un papel importante en la ciencia y la tecnología.
Definición y fórmula de la ley de Hooke.
La formulación de esta ley es la siguiente: la fuerza elástica que aparece en el momento de la deformación de un cuerpo es proporcional al alargamiento del cuerpo y se dirige en sentido opuesto al movimiento de las partículas de este cuerpo con respecto a otras partículas durante la deformación.
La notación matemática de la ley se ve así:
Arroz. 1. Fórmula de la ley de Hooke
Dónde Fupr– en consecuencia, la fuerza elástica, X– alargamiento del cuerpo (la distancia por la cual cambia la longitud original del cuerpo), y k– coeficiente de proporcionalidad, llamado rigidez del cuerpo. La fuerza se mide en Newtons y el alargamiento de un cuerpo se mide en metros.
Para revelar el significado físico de rigidez, es necesario sustituir la unidad en la que se mide el alargamiento en la fórmula de la ley de Hooke: 1 m, habiendo obtenido previamente la expresión para k.
Arroz. 2. Fórmula de rigidez corporal
Esta fórmula muestra que la rigidez de un cuerpo es numéricamente igual a la fuerza elástica que se produce en el cuerpo (resorte) cuando se deforma 1 m. Se sabe que la rigidez de un resorte depende de su forma, tamaño y material. del que está hecho el cuerpo.
fuerza elástica
Ahora que sabemos qué fórmula expresa la ley de Hooke, es necesario comprender su valor básico. La cantidad principal es la fuerza elástica. Aparece en un momento determinado cuando el cuerpo comienza a deformarse, por ejemplo, cuando se comprime o se estira un resorte. Se dirige en dirección opuesta a la gravedad. Cuando la fuerza elástica y la fuerza de gravedad que actúan sobre el cuerpo se igualan, el soporte y el cuerpo se detienen.
La deformación es un cambio irreversible que se produce en el tamaño del cuerpo y su forma. Están asociados con el movimiento de partículas entre sí. Si una persona se sienta en una silla blanda, la silla se deformará, es decir, sus características cambiarán. Se presenta en diferentes tipos: flexión, estiramiento, compresión, corte, torsión.
Dado que la fuerza elástica está relacionada en origen con las fuerzas electromagnéticas, debes saber que surge debido a que las moléculas y los átomos, las partículas más pequeñas que componen todos los cuerpos, se atraen y repelen entre sí. Si la distancia entre las partículas es muy pequeña, entonces se ven afectadas por la fuerza repulsiva. Si esta distancia aumenta, entonces la fuerza de atracción actuará sobre ellos. Por tanto, la diferencia entre fuerzas de atracción y repulsión se manifiesta en fuerzas elásticas.
La fuerza elástica incluye la fuerza de reacción del suelo y el peso corporal. La fuerza de la reacción es de particular interés. Esta es la fuerza que actúa sobre un cuerpo cuando se coloca sobre cualquier superficie. Si el cuerpo está suspendido, la fuerza que actúa sobre él se llama fuerza de tensión del hilo.
Características de las fuerzas elásticas.
Como ya hemos descubierto, la fuerza elástica surge durante la deformación y tiene como objetivo restaurar las formas y tamaños originales estrictamente perpendiculares a la superficie deformada. Las fuerzas elásticas también tienen varias características.
- ocurren durante la deformación;
- aparecen en dos cuerpos deformables simultáneamente;
- son perpendiculares a la superficie respecto de la cual se deforma el cuerpo.
- tienen dirección opuesta al desplazamiento de las partículas del cuerpo.
Aplicación de la ley en la práctica.
La ley de Hooke se aplica tanto en dispositivos técnicos y de alta tecnología como en la naturaleza misma. Por ejemplo, las fuerzas elásticas se encuentran en los mecanismos de los relojes, en los amortiguadores de los vehículos, en las cuerdas, las gomas e incluso en los huesos humanos. El principio de la ley de Hooke subyace al dinamómetro, un dispositivo utilizado para medir la fuerza.
Las observaciones muestran que para la mayoría de los cuerpos elásticos, como el acero, el bronce, la madera, etc., la magnitud de las deformaciones es proporcional a la magnitud de las fuerzas actuantes. Un ejemplo típico que explica esta propiedad es una balanza de resorte, en la que el alargamiento del resorte es proporcional a la fuerza que actúa. Esto se puede ver en el hecho de que la escala de división de tales escalas es uniforme. Como propiedad general de los cuerpos elásticos, la ley de proporcionalidad entre fuerza y deformación fue formulada por primera vez por R. Hooke en 1660 y publicada en 1678 en la obra “De potentia restitutiva”. En la formulación moderna de esta ley, no se consideran las fuerzas y movimientos de los puntos de su aplicación, sino las tensiones y las deformaciones.
Así, para tensión pura se supone:
Aquí está el alargamiento relativo de cualquier segmento tomado en la dirección de estiramiento. Por ejemplo, si las nervaduras que se muestran en la Fig. 11 los prismas antes de aplicar la carga eran a, b y c, como se muestra en el dibujo, y después de la deformación serán respectivamente, entonces .
La constante E, que tiene la dimensión de la tensión, se llama módulo de elasticidad o módulo de Young.
La tensión de los elementos paralela a las tensiones actuantes o va acompañada de una contracción de los elementos perpendiculares, es decir, una disminución de las dimensiones transversales de la varilla (dimensiones en el dibujo). Deformación transversal relativa
será un valor negativo. Resulta que las deformaciones longitudinales y transversales en un cuerpo elástico están relacionadas por una relación constante:
La cantidad adimensional v, constante para cada material, se denomina relación de compresión lateral o relación de Poisson. El propio Poisson, partiendo de consideraciones teóricas que luego resultaron incorrectas, creía que para todos los materiales (1829). De hecho, los valores de este coeficiente son diferentes. Si, para acero
Reemplazando la expresión en la última fórmula obtenemos:
La ley de Hooke no es una ley exacta. Para el acero, las desviaciones de la proporcionalidad entre ellos son insignificantes, mientras que el hierro fundido o el tallado claramente no obedecen esta ley. Para ellos, y puede aproximarse mediante una función lineal sólo en la aproximación más aproximada.
Durante mucho tiempo, la resistencia de los materiales se refería únicamente a los materiales que obedecían la ley de Hooke, y la aplicación de fórmulas de resistencia de materiales a otros cuerpos sólo podía hacerse con gran reserva. Actualmente, se están comenzando a estudiar y aplicar leyes de elasticidad no lineal para resolver problemas específicos.
8.2. Leyes básicas utilizadas en la resistencia de los materiales.
Relaciones estáticas. Están escritos en la forma de las siguientes ecuaciones de equilibrio.
ley de Hooke ( 1678): cuanto mayor es la fuerza, mayor es la deformación y, además, es directamente proporcional a la fuerza. Físicamente, esto significa que todos los cuerpos son resortes, pero con gran rigidez. Cuando una viga simplemente se estira mediante una fuerza longitudinal. norte= F esta ley se puede escribir como:
Aquí 
fuerza longitudinal, yo- longitud de la viga, A- su área de sección transversal, mi- coeficiente de elasticidad del primer tipo ( El módulo de Young).
Teniendo en cuenta las fórmulas para tensiones y deformaciones, la ley de Hooke se escribe de la siguiente manera: 
.
Se observa una relación similar en experimentos entre tensiones tangenciales y ángulo de corte:
.
GRAMO
llamadomódulo de corte
, con menos frecuencia – módulo elástico del segundo tipo. Como cualquier ley, la ley de Hooke también tiene un límite de aplicabilidad. Voltaje 
, hasta el cual la ley de Hooke es válida, se llama límite de proporcionalidad(Esta es la característica más importante en la resistencia de los materiales).
Representemos la dependencia.
de
gráficamente (Fig. 8.1). Esta imagen se llama diagrama de estiramiento
. Después del punto B (es decir, en 
) esta dependencia deja de ser lineal.
En 
Después de la descarga, aparecen deformaciones residuales en la carrocería, por lo que 
llamado Límite elástico
.
Cuando el voltaje alcanza el valor σ = σ t, muchos metales comienzan a exhibir una propiedad llamada fluidez. Esto significa que incluso bajo carga constante, el material continúa deformándose (es decir, se comporta como un líquido). Gráficamente, esto significa que el diagrama es paralelo a la abscisa (sección DL). El voltaje σ t al que fluye el material se llama límite elástico .
Algunos materiales (St. 3 - acero de construcción) después de un breve flujo comienzan a resistir nuevamente. La resistencia del material continúa hasta un cierto valor máximo σ pr, y luego comienza la destrucción gradual. La cantidad σ pr se llama resistencia a la tracción (sinónimo para acero: resistencia a la tracción, para hormigón - resistencia cúbica o prismática). También se utilizan las siguientes designaciones:
=R b
Se observa una relación similar en experimentos entre tensiones cortantes y cortantes.
3) Ley de Duhamel-Neumann (expansión lineal de temperatura):
En presencia de una diferencia de temperatura, los cuerpos cambian de tamaño y en proporción directa a esta diferencia de temperatura.
Que haya una diferencia de temperatura. 
. Entonces esta ley queda así:
Aquí α - coeficiente de expansión térmica lineal, yo - longitud de la varilla, Δ yo- su alargamiento.
4) Ley de fluencia .
Las investigaciones han demostrado que todos los materiales son muy heterogéneos en áreas pequeñas. La estructura esquemática del acero se muestra en la figura 8.2.
Algunos de los componentes tienen las propiedades de un líquido, por lo que muchos materiales bajo carga reciben un alargamiento adicional con el tiempo. 
(Fig. 8.3.) (metales a altas temperaturas, hormigón, madera, plásticos - a temperaturas normales). Este fenómeno se llama arrastrarse material.
La ley para los líquidos es: cuanto mayor es la fuerza, mayor es la velocidad de movimiento del cuerpo en el líquido. Si esta relación es lineal (es decir, la fuerza es proporcional a la velocidad), entonces se puede escribir como:
mi 
Si pasamos a fuerzas relativas y alargamientos relativos, obtenemos
Aquí el índice " cr
"Significa que se considera la parte del alargamiento que es causado por la fluencia del material. Características mecánicas 
llamado coeficiente de viscosidad.
Ley de conservación de la energía.
Considere una viga cargada
Introduzcamos el concepto de mover un punto, por ejemplo,
- movimiento vertical del punto B;
- desplazamiento horizontal del punto C.
Potestades 
mientras hacía algo de trabajo Ud..
Considerando que las fuerzas 
comienzan a aumentar gradualmente y suponiendo que aumentan en proporción a los desplazamientos, obtenemos:
.
Según la ley de conservación: Ningún trabajo desaparece, se gasta en hacer otro trabajo o se convierte en otra energía. (energía- este es el trabajo que el cuerpo puede hacer).
Trabajo de fuerzas 
, se gasta en superar la resistencia de las fuerzas elásticas que surgen en nuestro cuerpo. Para calcular este trabajo tenemos en cuenta que se puede considerar que el cuerpo está formado por pequeñas partículas elásticas. Consideremos uno de ellos:
Está sujeto a la tensión de las partículas vecinas. 
. La tensión resultante será 
Bajo la influencia 
la partícula se alargará. Según la definición, el alargamiento es el alargamiento por unidad de longitud. Entonces:
Calculemos el trabajo. dw, que hace la fuerza dN (aquí también se tiene en cuenta que las fuerzas dN comienzan a aumentar gradualmente y aumentan proporcionalmente a los movimientos):
Para todo el cuerpo obtenemos:
.
Trabajo W. que fue cometido 
, llamado energía de deformación elástica.
Según la ley de conservación de la energía:
6)Principio posibles movimientos .
Esta es una de las opciones para escribir la ley de conservación de la energía.
Deja que las fuerzas actúen sobre la viga. F 1
,
F 2
,
…
. Hacen que puntos se muevan en el cuerpo. 
y voltaje 
. vamos a darle el cuerpo pequeños movimientos adicionales posibles
. En mecánica, una notación de la forma. 
significa la frase “valor posible de la cantidad A" Estos posibles movimientos harán que el cuerpo posibles deformaciones adicionales
. Conducirán a la aparición de fuerzas y tensiones externas adicionales. 
,
δ.
Calculemos el trabajo de las fuerzas externas sobre posibles pequeños desplazamientos adicionales:
Aquí 
- movimientos adicionales de aquellos puntos en los que se aplican fuerzas F 1
,
F 2
,
…
Consideremos nuevamente un elemento pequeño con una sección transversal. da y longitud dz (ver Fig. 8.5. y 8.6.). Según la definición, alargamiento adicional. dz de este elemento se calcula mediante la fórmula:
dz= dz.
La fuerza de tracción del elemento será:
dN = (+δ) da ≈ da..
El trabajo de las fuerzas internas sobre desplazamientos adicionales se calcula para un elemento pequeño de la siguiente manera:
dW = dN dz = da dz = dV
CON 
sumando la energía de deformación de todos los elementos pequeños obtenemos la energía de deformación total:
Ley de conservación de la energía. W. = Ud. da:
.
Esta relación se llama principio de posibles movimientos(También es llamado principio de los movimientos virtuales). De manera similar, podemos considerar el caso en el que también actúan tensiones tangenciales. Entonces podemos obtener eso para la energía de deformación. W. Se añadirá el siguiente término:
Aquí es el esfuerzo cortante, es el desplazamiento del elemento pequeño. Entonces principio de posibles movimientos tomará la forma:
A diferencia de la forma anterior de escribir la ley de conservación de la energía, aquí no se supone que las fuerzas comienzan a aumentar gradualmente y aumentan en proporción a los desplazamientos.
7) Efecto venenoso.
Consideremos el patrón de alargamiento de la muestra:
El fenómeno de acortar un elemento del cuerpo en la dirección de alargamiento se llama efecto veneno.
Encontremos la deformación relativa longitudinal.
La deformación relativa transversal será:
el coeficiente de Poisson la cantidad se llama:
Para materiales isotrópicos (acero, hierro fundido, hormigón) Relación de Poisson
Esto significa que en la dirección transversal la deformación menos longitudinal
Nota
: las tecnologías modernas pueden crear materiales compuestos con un índice de Poisson >1, es decir, la deformación transversal será mayor que la longitudinal. Por ejemplo, este es el caso de un material reforzado con fibras rígidas en un ángulo bajo. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, es decir. lo menos 
, mayor será el índice de Poisson.
Fig.8.8. Fig.8.9
Aún más sorprendente es el material que se muestra en la (Fig. 8.9), y para tal refuerzo hay un resultado paradójico: el alargamiento longitudinal conduce a un aumento en el tamaño del cuerpo en la dirección transversal.
8) Ley de Hooke generalizada.
Consideremos un elemento que se estira en dirección longitudinal y transversal. Encontremos la deformación que se produce en estas direcciones. 
Calculemos la deformación. 
que surge de la acción 
:
Consideremos la deformación de la acción. 
, que surge como resultado del efecto Poisson:
La deformación total será:
Si es válido y 
, luego se agregará otro acortamiento en la dirección del eje x 
.
Por eso: 
Asimismo: 
Estas relaciones se llaman Ley de Hooke generalizada.
Es interesante que al escribir la ley de Hooke, se hace una suposición sobre la independencia de las deformaciones de alargamiento de las deformaciones cortantes (independencia de las tensiones cortantes, que es lo mismo) y viceversa. Los experimentos confirman bien estas suposiciones. De cara al futuro, observamos que la resistencia, por el contrario, depende en gran medida de la combinación de tensiones tangenciales y normales.
Nota: Las leyes y supuestos anteriores se ven confirmados por numerosos experimentos directos e indirectos, pero, como todas las demás leyes, tienen un ámbito de aplicabilidad limitado.
Cuando una varilla se estira y se comprime, su longitud y las dimensiones de su sección transversal cambian. Si seleccionas mentalmente de una varilla en estado no deformado un elemento de longitud dx, luego, después de la deformación, su longitud será igual a dx((Figura 3.6). En este caso, el alargamiento absoluto en la dirección del eje Oh será igual
y la deformación lineal relativa ex está determinado por la igualdad
porque el eje Oh coincide con el eje de la varilla a lo largo del cual actúan las cargas externas, llamemos a la deformación ex deformación longitudinal, para la cual omitiremos además el índice. Las deformaciones en direcciones perpendiculares al eje se denominan deformaciones transversales. Si denotamos por b tamaño característico de la sección transversal (Fig. 3.6), entonces la deformación transversal está determinada por la relación 
Las deformaciones lineales relativas son cantidades adimensionales. Se ha establecido que las deformaciones transversales y longitudinales durante la tensión central y la compresión de la varilla están relacionadas entre sí por la relación
La cantidad v incluida en esta igualdad se llama el coeficiente de Poisson o coeficiente de deformación transversal. Este coeficiente es una de las principales constantes elásticas del material y caracteriza su capacidad para sufrir deformaciones transversales. Para cada material, se determina a partir de un experimento de tracción o compresión (ver § 3.5) y se calcula mediante la fórmula
Como se desprende de la igualdad (3.6), las deformaciones longitudinales y transversales siempre tienen signos opuestos, lo que confirma el hecho obvio: durante la tensión, las dimensiones de la sección transversal disminuyen y durante la compresión aumentan.
La relación de Poisson es diferente para diferentes materiales. Para materiales isotrópicos, puede tomar valores que oscilan entre 0 y 0,5. Por ejemplo, para la madera de balsa el índice de Poisson es cercano a cero y para el caucho es cercano a 0,5. Para muchos metales a temperaturas normales, la relación de Poisson está en el rango de 0,25+0,35.
Como se ha establecido en numerosos experimentos, para la mayoría de los materiales estructurales con pequeñas deformaciones existe una relación lineal entre tensiones y deformaciones.
Esta ley de proporcionalidad fue establecida por primera vez por el científico inglés Robert Hooke y se llama Ley de Hooke.
La constante incluida en la ley de Hooke. mi llamado módulo de elasticidad. El módulo de elasticidad es la segunda constante elástica principal de un material y caracteriza su rigidez. Dado que las deformaciones son cantidades adimensionales, de (3.7) se deduce que el módulo elástico tiene la dimensión de tensión.
En mesa La tabla 3.1 muestra los valores del módulo de elasticidad y la relación de Poisson para varios materiales.
Al diseñar y calcular estructuras, además de calcular tensiones, también es necesario determinar los desplazamientos de puntos y nodos individuales de estructuras. Consideremos un método para calcular los desplazamientos durante la tensión central y la compresión de varillas.
Alargamiento absoluto de la longitud del elemento. dx(Fig. 3.6) según la fórmula (3.5) es igual a
Tabla 3.1
|
nombre del material |
Módulo de elasticidad, MPa |
Coeficiente Poison |
|
Acero carbono |
||
|
Aleaciones de aluminio |
||
|
Aleaciones de titanio |
||
|
(1.15-s-1.6) 10 5 |
||
|
a lo largo de la fibra |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
a través del grano |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
Enladrillado |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
SVAM de fibra de vidrio |
||
|
Textolita |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Goma sobre goma |
Integrando esta expresión en el rango de 0 a x, obtenemos
Dónde su) - desplazamiento axial de una sección arbitraria (Fig. 3.7), y C= tu( 0) - desplazamiento axial de la sección inicial x = 0. Si esta sección es fija, entonces u(0) = 0 y el desplazamiento de una sección arbitraria es igual a
El alargamiento o acortamiento de la varilla es igual al desplazamiento axial de su extremo libre (Fig. 3.7), cuyo valor se obtiene de (3.8), tomando x = 1:
¿Sustituyendo la expresión de deformación en la fórmula (3.8)? de la ley de Hooke (3.7), obtenemos
Para una varilla hecha de un material con un módulo de elasticidad constante mi Los movimientos axiales están determinados por la fórmula.
La integral incluida en esta igualdad se puede calcular de dos formas. El primer método consiste en escribir la función analíticamente. Oh) y posterior integración. El segundo método se basa en el hecho de que la integral considerada es numéricamente igual al área del diagrama a en la sección . Presentando la designación
Consideremos casos especiales. Para una varilla estirada por una fuerza concentrada R(arroz. 3.3,a), fuerza longitudinal./V es constante a lo largo de la longitud e igual a r. Los voltajes a según (3.4) también son constantes e iguales 
Entonces de (3.10) obtenemos
De esta fórmula se deduce que si las tensiones en una determinada sección de la varilla son constantes, entonces los desplazamientos cambian según una ley lineal. Sustituyendo en la última fórmula x = 1, Encontremos el alargamiento de la varilla:
Trabajar FE llamado Rigidez de la varilla en tracción y compresión. Cuanto mayor sea este valor, menor será el alargamiento o acortamiento de la varilla.
Consideremos una varilla bajo la acción de una carga uniformemente distribuida (figura 3.8). La fuerza longitudinal en una sección arbitraria ubicada a una distancia x de la fijación es igual a
Dividiendo norte en F, obtenemos la fórmula para las tensiones
Sustituyendo esta expresión en (3.10) e integrando, encontramos
El mayor desplazamiento, igual al alargamiento de toda la varilla, se obtiene sustituyendo x = / en (3.13):
De las fórmulas (3.12) y (3.13) queda claro que si las tensiones dependen linealmente de x, entonces los desplazamientos cambian según la ley de una parábola cuadrada. Diagramas NORTE, acerca de y Y mostrado en la Fig. 3.8.
Funciones de conexión de dependencia diferencial general. su) y a(x), se puede obtener de la relación (3.5). Sustituyendo e de la ley de Hooke (3.7) en esta relación, encontramos
De esta dependencia se derivan, en particular, los patrones de cambios en la función observados en los ejemplos discutidos anteriormente. su).
Además, se puede observar que si en cualquier sección las tensiones llegan a cero, entonces en el diagrama Y Puede haber un extremo en esta sección.
Como ejemplo, construyamos un diagrama. Y para la varilla que se muestra en la Fig. 3.2, poniendo MI- 10 4MPa. Calcular el área de una parcela oh para diferentes áreas, encontramos:
sección x = 1m:
sección x = 3 m:
sección x = 5m:
En la sección superior del diagrama de barras. Y es una parábola cuadrada (figura 3.2, mi). En este caso, en la sección x = 1 m hay un extremo. En la sección inferior, la naturaleza del diagrama es lineal.
El alargamiento total de la varilla, que en este caso es igual a
se puede calcular utilizando las fórmulas (3.11) y (3.14). Dado que la sección inferior de la varilla (ver Fig. 3.2, A) estirado por la fuerza r ( su extensión según (3.11) es igual a
Acción de fuerza r ( también se transmite a la sección superior de la varilla. Además, se comprime por la fuerza. R 2 y es estirado por una carga uniformemente distribuida q. De acuerdo con esto, el cambio en su longitud se calcula mediante la fórmula
Sumando los valores de A/ y A/ 2, obtenemos el mismo resultado que el indicado anteriormente.
En conclusión, cabe señalar que, a pesar del pequeño desplazamiento y alargamiento (acortamiento) de las varillas durante la tensión y la compresión, no se pueden descuidar. La capacidad de calcular estas cantidades es importante en muchos problemas tecnológicos (por ejemplo, al instalar estructuras), así como para resolver problemas estáticamente indeterminados.