Установление последовательности событий. Тестирование детей на основе методики А

Методика также была описана А. Н. Бернштейном еще в 1911 году для ис­следования сопоставления, сравнительной оценки нескольких данных в их отношениях друг к другу, в том числе и для исследования особенностей мыс­лительной деятельности психически больных детей разного возраста. С по­мощью методики исследуется также способность к пониманию ситуации и предвосхищению событий. В наиболее общем виде можно сказать, что для выполнения данного задания ребенок должен соотнести различия в отдель­ных элементах рисунков и, руководствуясь ими, определить последовательность расположения сюжетных картинок. Вначале путем невербальных действий устанавливается связь изображенных на них событий, а затем данная последовательность картинок вербализуется - по ней составляется связный рассказ.

Цель. Исследование особенностей мыслительной деятельности ребенка » возможности установления причинно-следственных и пространственно-временных связей, анализ речевого развития ребенка.

Используются различные по сложности серии сюжетных картинок. В каждой серии картинки объединены сюжетом, в соответствии с которым испытуемый должен расположить их в определенной последовательности. Методика широко используется в ряде диагностических комплексов, наиболее известным из которых в нашей стране является методика Векслера, описанная в боль­шинстве современных пособий по психодиагностике. В то же время используемые в методике Векслера сюжетные последовательности к настоящему времени, будучи распечатаны во множестве популярных и околонаучных психологических изданий, достаточно хорошо известны не только в кругах специалистов. Кроме того, сами изображения соответствующего (десятого) субтеста перцептивно «перенасыщены», что час­то вызывает трудности зрительного опознания у современных детей, снижая тем самым дифференциально-диагностическую ценность методики.

Вследствие этого, начиная с 1992 года, нами был подобран и используется предлагаемый набор сюжетных последовательностей, разра­ботанный на основе несколько упрощенных (из вышеуказанных соображений) рисунков X. Бидструпа. Размер, перцептивная сложность и цветовая гамма изображений под­бирались и адаптировались в соответствии с особенностями зрительной перцепции совре­менной детской популяции.

Стимульный материал. Методика представля­ет собой набор из четырех оригинальных, ранее не использовавшихся в диагностической прак­тике сюжетных последовательностей, выпол­ненных синим контуром на белом фоне, марки­рованных латинскими буквами в перевернутой по отношению к ребенку позиции 28 . Такая цве­товая гамма, как показывают многолетние ис­следования, вызывает бблыную заинтересован­ность ребенка в работе, менее контрастна и не вызывает зрительного дискомфорта (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Образец стимульного материала методики «Последовательность событий» (серия «А») (приведены в измененном масштабе и черно-белом варианте)

Последовательности ранжированы по сложности сюжета и количеству ри­сунков в каждом сюжете. Первая последовательность сюжетных картинок - «Снеговик» - состоит из трех картинок (маркировка «А») и является наиболее простой 29 . Вторая по сложности сюжетной линии последовательность - «Клум­ба» (маркировка «В») - состоит из четырех картинок. Третья по сложности последовательность - «Портрет» (маркировка «С») - состоит из пяти сюжет­ных картинок. В последней сюжетной последовательности уже присутствуют характеристики комичности-трагичности (эмоционального подтекста). Наи­более сложной по построению сюжетной линии, причинно-следственным и временным связям в настоящей методике является четвертая последователь­ность - «Садовод» (маркировка «D»), состоящая из шести картинок. Трудность выполнения этой последовательности определяется не только количеством картинок, которые необходимо разложить в правильной (адекватной) после­довательности, но и пониманием комичности самой ситуации (что же на са­мом деле прижилось у садовода?). Комичность ситуации находится в тесной взаимосвязи с перцептивной сложностью сюжета.

Возрастной диапазон применения. Соответствующие серии картинок пред­назначены для работы с детьми от 3,5-4 до 7-8 лет.

Процедура проведения и регистрации результатов

Перед ребенком на столе в случайном порядке (но не в линию) располага­ются картинки доступной ребенку, по мнению специалиста, серии.

Инструкция 1. «Здесь на картинках нарисован рассказ. Посмотри на них вни­мательно, подумай, с чего все началось, что было потом и на какой картинке на­рисована окончание рассказа. Разложи, как все было, с чего началось и чем закон­чилось. Посмотри внимательно и начинай раскладывать».

В соответствующем разделе протокола регистрируются все действия ребен­ка. Отмечается, как он рассматривает картинки, как начинает работать, в ка­ком стиле (хаотично или целенаправленно) действует. Замечает ли ребенок несуразности в последовательности или просто продолжает свою раскладку, просматривает ли всю последовательность после ее завершения, спокоен он или тревожится, как ориентируется на возможные реакции взрослого, обра­щается ли за помощью или работает самостоятельно и т. п.

После завершения работы психолог записывает в протоколе порядок располо­жения карточек и их направление (слева - направо или справа - налево и пр.).

Инструкция 2. «А теперь попробуй составить рассказ по тем картинкам, ко­торые ты разложил, и дай этому рассказу название».

Особенности рассказа по данной серии изображений, в первую очередь, возможность понимания его основного смысла (последнее выражается, в том числе, и в возможности дать адекватное название разложенной последовательности) фиксируются в протоколе.

Если ребенок справляется с данным заданием, то предъявляется следующая по сложности (в данном случае, количеству картинок) последовательность Со стороны психолога возможны различные виды помощи (стимулирующая и организующая помощь, полное обучение), характер и объем которой также заносятся в протокол.

Анализируемые показатели

□ доступный уровень сложности;

□ соответствие рассказа ребенка созданной им последовательности кар­тинок, адекватность названия;

□ логичность и связность самого рассказа (способность установления причинно-следственных и пространственно-временных закономерностей);

□ уровень речевого развития, в том числе возможность дать название сложенной последовательности;

□ пространственная ориентация разложенных ребенком картинок (как, в определенной степени, показатель специфики межфункциональной организации мозговых систем);

□ критичность ребенка к результатам собственной деятельности.

Анализ результатов

В первую очередь анализируется доступный уровень сложности, то есть пол­ное соответствие сюжета, созданного ребенком, разложенной последователь­ности. При этом довольно часто для того, чтобы соответствовать созданной последовательности, рассказ ребенка оказывается нестандартным, лишенным привычной для взрослого логики. Формально такая оригинальная раскладка может считаться неправильной, но, с нашей точки зрения, должна быть оце­нена как адекватная, если созданный ребенком сюжет рассказа ей полностью соответствует. Так, если рассказ точно соответствует разложенному ребенком порядку, а сам ребенок ловко придумывает оправдание некоторым несоответ­ствиям, то есть «складно» излагает рассказ и может придумать ему название в той же логике, то задание следует считать выполненным.

Иногда, наоборот, при формально правильно разложенной последователь­ности картинок ребенок не в состоянии построить адекватный рассказ или дать адекватное название, соответствующее смыслу сюжета. В этом случае задание считается выполненным лишь частично. У детей с выраженными трудностями «вербализации» сюжета (дети с вариантами парциальной несформированности когнитивного компонента познавательной деятельности) критерием дос­тупности выполнения может выступать название сюжета, даже в случае ори­гинальной последовательности разложенных ребенком картинок.

Очень важно оценить, улавливает ли ребенок юмористическую окраску предлагаемых заданий (сюжеты «Портрет» и «Садовод»), как меняется выра­жение его лица, мимика, эмоциональные высказывания по поводу сюжета.

В соответствии с обычной логикой рассказ ребенка анализируется с точки зрения не только речевого оформления (соответствия возрасту, развернутости речи, ее активности, грамматической правильности), но и с точки зрения по­нимания причинно-следственных и пространственно-временных отношений, Так, в сюжетной последовательности «Портрет» можно выяснить у ребенка, как, в конце концов, была повешена картина: так, как хотели раньше (с ис­пользованием лестницы - то есть высоко), или как-то по-другому, и почему В последовательности «Клумба» ребенок может рассказать, что в начале собрали цветы, после этого перекопали землю и посадили что-то новое (например, лук), а затем этот лук вырос. Тем самым сама последовательность будет выглядеть следующим образом: 4, 1, 2, 3. Но, в то же время, причинно-следственная и, соответственно, временная последовательность событий оказывается сохра­ненной, что позволяет считать выполнение задания правильным. Хотя, безус­ловно, такое выполнение задания допустимо для детей не старше 6,5-летнегс возраста, имеющих хотя бы небольшой опыт «садово-огородных» работ (по­следнее можно рассматривать в качестве одного из показателей социально-психологического норматива).

Все особенности устного рассказа ребенка (связность, развернутость, грам­матическая правильность, специфика звукопроизношения, интонирования \ т. п.) оцениваются с точки зрения их соответствия возрасту и соотносятся (актуальным уровнем развития ребенка. Так, например, ребенок может с тру дом справиться с серией «Клумба», говоря, что это разные люди и разные мальчики, но при этом само речевое оформление может быть чрезвычайно «пышным», с наличием взрослых оборотов, элементов резонерства, эмоциональным несоответствием и собственно уходом рассказа от самого сюжета. В данном случае можно говорить о диспропорции уровней речемыслительного и аффективно-эмоционального развития, характерной для определенных типов отклоняющегося развития.

Очень часто у детей школьного возраста уже сам процесс раскладки сери] «Садовод» вызывает смех, то есть ребенок прекрасно замечает комичность ситуации. В то же время иногда он не в состоянии сформулировать связный рас сказ, отражающий эту комичность. Очень часто от рассказа остаются одни междометия или вообще «сухой остаток»: «это», «вот», «оно потом», «ничего не получилось», «черти что выросло» и т. п. По отношению к серии «Портрет это может выразиться в своеобразном выражении (штампе-эмболе): «Ну даешь, руки-крюки».

Большое значение имеют пространственная ориентация и направления раскладывания сюжетной последовательности и распределения (компоновки картинок на поверхности стола. Следует проанализировать такие стратеги] раскладывания от первой картинки к последней, как: справа-налево, «этажа ми» и тому подобное оригинальное и своеобразное размещение картинок сюжета в пространстве плоскости стола. Стратегия работы справа-налево имеет основание анализироваться как недостаточно адекватная, отклоняющаяся о возрастного норматива только начиная с 5-летнего возраста, и только тогда может оцениваться как косвенный показатель специфики формирования меж функциональной организации (в том числе и специфики профиля латеральных предпочтений). Это позволяет с высокой степенью вероятности прогнозировать трудности овладения программным материалом в начальной школе»!

Раскладка «от себя» или «к себе» встречается не так часто, как раскладке картинок справа-налево, но также может свидетельствовать о проблемах формирования пространственных представлений.

Важным показателем анализа является возможность переноса усвоенного способа действия на последующее по сложности задание (показатель обучав» мости ребенка).

Также при оценке выполнения задания необходимо обратить внимание на объем помощи (часто в виде вопросов психолога по поводу несоответствия рас­сказа), необходимой ребенку для изменения рассказа, на то, как ребенок при­нимает эту помощь. Этот момент выполнения ребенком задания можно рас­сматривать как один из показателей критичности.

Методика предназначена для выявления возможности устанав­ливать пространственно-временные и причинно-следственные свя­зи по серии сюжетных картинок.

Для проведения обследования необходимо иметь несколько серий, состоящих из 2-5 картинок, каждая из которых отражает какое-либо событие несложного сюжета. Серии подбираются разной степени трудности: от самых легких до таких, в которых имеется пропущенное звено. Желательно иметь серии в красках, так как цветные изображения воспринимаются детьми легче, чем черно-белые, и вызывают больший эмоциональный интерес.

Ребенку показывают пачку перемешанных, заранее пронуме­рованных картинок: «Вот здесь на картинках один рассказ. Най­ди, с чего все началось, что было потом, чем все кончилось. По­ложи все картинки по порядку (одновременно показывать жес­том). Сюда положи первую картинку, сюда - вторую, ...а сюда положи последнюю картинку».

Перед ребенком выкладывают перемешанные в беспорядке картинки: «Посмотри картинки и начинай раскладывать».

В протоколе регистрируются все действия ребенка: как он рас­сматривает картинки, как начинает действовать (целенаправленно или хаотично, не задумываясь над очередной картинкой), замечает ли ошибки и исправляет их или не обращает на них внимания и продолжает выкладывать дальше, просматривает ли еще раз всю раскладку после ее завершения и т.д. После окончания раскладки экспериментатор записывает в протоколе полученную последова­тельность. Если ребенок сразу выполнил задание правильно, ему предлагается другая, более сложная серия с краткой инструкцией: «На этих картинках другой рассказ. Разложи все картинки по по­рядку» (жест).

Если серия разложена неправильно, переходят ко второму эта­пу по этой же серии. «Ты разложил неправильно (эксперимента­тор выбирает первую картинку). Вот эта первая картинка. Поло­жи ее сюда (остальные в беспорядке выкладывает перед ребенком). А эти картинки (жест) разложи по порядку».

Если ребенок выполнил задание правильно, ему дают аналогич­ную серию с тем, чтобы проверить, сможет ли он применить освоен­ный способ действия. Если серия не разложена, начинают следующий этап.

Экспериментатор рассказывает весь сюжет, подчеркивая сло­ва «раньше», «потом» и сопровождает свой рассказ последова­тельным выкладыванием картинок. Затем снова перемешивает картинки и предлагает ребенку разложить их по порядку.

Если все выполнено правильно, ребенку дают аналогичную серию, если нет - еще повторяют предыдущий этап, стараясь по­лучить правильную раскладку. Дополнительные объяснения по схеме четвертого этапа обязательно заносятся в протокол.

При оценке выполнения задания основное внимание обраща­ется на количество помощи (этапы - подсказки), необходимой ребенку для получения правильного результата, на то, как он принимает эту помощь, и на возможность «переноса».

Примерные серии последовательных картинок для младших детей: «Волки», «Лодки», «Колодец», «Собака-санитар», «Воро­ны», «Весна наступила», «Мальчик и собака», «Лиса и ворона», «Хитрый мышонок», «Заяц и морковка», «На льдине».

Методика предназначена для выявления сообразительности, умения понимать связь событий и строить последовательные умозаключения. Предложена А. Н. Бернштейном.

Для проведения опыта необходимы серии сюжетных картинок (в количестве 3‑6 картин), на которых изображены этапы какого-либо события.

Существуют серии, соответствующие по содержанию детскому возрасту, а также серии для взрослых (см. стимульный материал).

Оригиналы этих серий выполнены красками, но можно пользоваться и их фотокопиями.

Испытуемому показывают пачку перемешанных карточек и говорят: «Вот здесь на всех рисунках изображено одно и то же событие. Нужно разобрать, с чего все началось, что было дальше и чем дело кончилось. Вот сюда (экспериментатор указывает место) положите первую картинку, на которой нарисовано начало, сюда ‑ вторую, третью..., а сюда последнюю».

После того как испытуемый разложил все картинки, экспериментатор записывает в протоколе, как он разложил (например: 5, 4, 1, 2, 3), и лишь после этого просит испытуемого рассказать по порядку о том, что получилось. Если он разложил неправильно, ему задают вопросы, цель которых помочь больному установить противоречие в его рассуждениях, выявить допущенные ошибки.

Если вторая попытка безуспешна, тогда экспериментатор сам показывает испытуемому последовательность событий и, перемешав снова все карточки, предлагает ему разложить их снова ‑ в третий раз или составить рассказ, отражающий последовательность событий.

ФОРМА ПРОТОКОЛА

Исследование больного, перенесшего травму

Что произошло?

Составь(те) рассказ по картинкам и придумайте заглавие

Составь(те) рассказ по картинкам

Составь(те) рассказ по картинкам

Интеллектуальное недоразвитие, затрудненность осмысления, свойственные олигофренам и больным с органическими заболеваниями мозга, проявляются в том, что больные, справляясь с легкими сериями, не могут ориентироваться в более трудных; в одной и той же серии они, как правило, ошибаются на одной более трудной картине.

Отчетливо выявляются с помощью данной методики некоторые формы инертности психических процессов больных: разложив в первый раз картинки неправильно, больные в дальнейшем несколько раз подряд повторяют ту же ошибочную версию последовательности. Такая «склонность к застреваниям» наблюдается при некоторых органических заболеваниях мозга в детском, а также в старческом возрасте.

При истолковании результатов исследования следует обращать внимание на то, как больной реагирует на наводящие вопросы и критические возражения экспериментатора, «подхватывает» ли он эту помощь или не понимает ее.

Значительный интерес представляют особенности устной речи больных, выявляющиеся во время объяснения последовательности событий (грамматически связная, развернутая либо односложная, бедная, лаконичная, либо с тенденцией к излишней детализации).

Затруднения в установлении сюжета по серии рисунков свидетельствуют о недостаточности уровня процессов обобщения и отвлечения.

Исследование ассоциаций

Три методики, приведенные в этом разделе, нельзя считать направленными на исследование мышления в подлинном смысле слова. Выполнение инструкций не требует от испытуемого целенаправленных логических действий, не связано с решением мыслительных задач. Тем не менее, выявляя особенности течения ассоциаций, они могут быть полезны для анализа тонких признаков расстройств мышления.

3.10.1. ТЕСТ «НАЗВАНИЕ 60 СЛОВ»

Методика выявляет характер и продуктивность ассоциаций испытуемого, а также его словарный запас.

Методика напоминает ассоциативный эксперимент К.Юнга. Он предлагал испытуемым называть какие угодно слова, предполагая, что в таком свободном потоке ассоциаций могут раскрыться его переживания, подсознательные стремления и опасения. Не вдаваясь в критический анализ такого направления исследований, укажем лишь, что оно теперь крайне редко применяется. Значительно чаще данный экспериментальный прием используется для исследования связности ассоциаций.

Для проведения опыта экспериментатор должен подготовить мягко пишущее перо (или карандаш) и секундомер (или обыкновенные часы). Нежелательно проводить этот эксперимент после «классификации предметов».

Исследование проводится под видом проверки скорости речи. Экспериментатор говорит испытуемому: «Давайте проверим, насколько быстро вы можете говорить. Назовите, пожалуйста, 60 каких угодно слов ‑ все равно каких, только как можно скорее. Старайтесь не называть того, что видите перед собой. Начинайте!».

Все слова, которые называет испытуемый, экспериментатор должен постараться записать. По секундомеру регистрируется время, затраченное на произнесение слов.

В случае, если испытуемый называет слова с длительными паузами, экспериментатор не отрывает карандаша от бумаги и, пока больной. молчит, продолжает ставить в ряду слов точки. Количество поставленных точек дает представление об относительной длине пауз, сделанных больным.

Опыт продолжается 2 минуты, иногда и меньше, если больной не в состоянии называть слова.

Для психически здоровых людей, а также школьников задание не представляет трудности. Слова называются обычно «гнездами», по 4‑ 7 слов из какой-либо области смежных представлений, а затем происходит понятный переход к следующему «гнезду», т. е. близкому ряду слов. Так, например, испытуемый называет: «тигр, волк, лось, медведь, шкура, мех, шуба, пальто, костюм, плащ». В этом ряду следует перечисление зверей, а затем после перехода «шкура ‑ мех» ‑ следующее гнездо: виды одежды. Очень большие «гнезда», т. е. перечисление 10 ‑ 12 предметов одного и того же ряда, а иногда и больше, свидетельствуют о чрезмерной обстоятельности, инертности мышления больных.

Особого внимания заслуживают быстрые, внезапные переходы от одного содержания представлений к другому. Так, например, больной быстро называет ряд слов: «жемчуг, дирижабль, несмотря, корица, мокрица, фисгармония». В этом ряду невозможно уловить содержательные связи между словами, но отчетливо выступают ассоциации по звучанию (корица, мокрица). Такого типа ассоциации встречаются у больных шизофренией.

В иных случаях элементы разорванности ассоциаций выявляются среди адекватного содержательного ряда слов. Так, например, «ель, изумруд, счастье, Иванов, дерево, мозги, чиж, щегол, попугай, ель, Барыбинск, соловей, Галли Курчи, Галя, Водопьянов, пошлина, шелк, ситец, Карманьола, Мытищи, Останкино, кулак, дерево, дурак». Следует подчеркнуть, что делать вывод о нарушении связности ассоциации можно лишь тогда, когда больной произносит слова быстро, а не выдумывает их, мучительно выискивая в памяти.

Данная проба может также оказаться полезной для выявления богатства или бедности словарного запаса и запаса представлений. Так, например, у больного с неизвестным анамнезом (при ограничении олигофрении в степени имбецильности от шизофренического дефекта) данная проба совершенно неожиданно выявила большой запас абстракных понятий и сложных представлений (испытуемый называл ряд слов: аэродинамика, тяготение, пространство, Млечный путь, индукция... и т. д.), что невозможно при имбецильности.

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Содержание

См. также:

Определение

Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:


.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем


.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства .

См. также:

Методика предложена А. Н. Бернштейном (1911) для исследования сопоставления, то есть сравнительной оценки нескольких данных в их отношениях друг к другу. Для выполнения задания обследуемый должен установить различия в отдельных элементах рисунков и, руководствуясь ими, определить последовательность
расположения сюжетных рисунков, установить связь событий, отраженных на них.
Для исследования необходимо подготовить несколько серий сюжетных рисуиков (приложение VII), отличающихся по степени сложности. С этой же целью используются рассказы в рисунках X. Бидструпа. Последние более сложны. Кроме того, при использовании карикатур характер задания несколько меняется - выявляется доступность для больного заложенного в сюжете компонента юмора.
Обследуемому объясняют, что на картинках изображено какое-то событие, и, если он их правильно, по порядку разместит, то получится связный рассказ об этом событии.
Затем обследующий регистрирует в протоколе порядок расположения больным рисунков и записывает сопровождающую выполнение задания мотивировку решения, ход рассуждений. Если задание сразу выполняется ошибочно, можно указать на это обследуемому н предложить начать все сначала. Важно отношение больного к обнаруженным ошибкам. В ряде случаев, особенно при ослабоумливающих органических заболеваниях головного мозга, оно свидетельствует о нарушении критичности мышления. Если больной, несмотря на подсказ обследующего, не может правильно расположить рисунки, то исследование упрощают - серию сюжетных рисуиков предлагают ему в правильном порядке, и он должен составить лишь рассказ, который отражал бы последовательность развития событий.
При объяснении больным хода рассуждений необходимо выяснить, что служило основным критерием для сопоставления этих рисуиков во времени - выделил ли больной общие для всех рисунков серии элементы, как улавливались им изменения, отличающие рисунок от предыдущего.
Затруднения в установлении развития сюжета по серии рисунков свидетельствуют о недостаточности уровня процессов обобщения и отвлечения. Особенно явственно они обнаруживаются при органических поражениях головного мозга с преимущественной локализацией в лобных отделах (Б. В. Зейгарник, 1943; А. Р. Лурия, 1947); когда больные описывают отдельно каждый рисунок, но сопоставить не могут и приходят к совершенно неле
пым выводам о развивающемся на этих русунках событий. Причем для такого рода больных с «лобным синдромом» характерна абсолютная некритичность мышления, ошибочные рассуждения не доступны коррекции.
КЛАССИФИКАЦИЯ
Методика классификации применяется для исследования уровня процессов обобщения и отвлечения, последовательности суждений. В процессе исследования выявляется отношение.больного к ситуации эксперимента и к характеру задания, его уверенность или неуверенность в правильности решения, его отношение к ошибкам - сам ли он их замечает или после подсказки обследующего, исправляет ли допущенные ошибки или отстаивает их.
Методика впервые была предложена К. Гольдштейном (1920) для исследования больных-афатиков. У нас она применяется в модификации Л. С. Выготского (1956) и Б. В. Зейгарник (1958).
Для исследования необходим набор карточек с изображением различных предметов, растений или живых существ. Изображения могут быть заменены надписями. Таким образом, можно говорить о предметной и словесной классификации. Методики эти, как и аналогичные словесный и предметный варианты методики исключения, неравнозначны, о чем свидетельствуют исследования Т. И. ТепениНыной (1959) и наши (1965). Так, например, особенности шизофренического мышления легче выступают при предметной классификации. Значительно более трудной оказывается предметная классификация по сравнению со словесной и для больных со сниженным уровнем процессов обобщения и отвлечения, так как она содержит больше элементов (детали рисунка), провоцирующих несущественные, конкретные ассоциации.
Набор карточек для классификации должен быть специально подготовлен. Непродуманно изготовленные наборы предопределяют выполнение задания, например, по конкретно-ситуационному типу. В связи с этим желательно пользоваться апробированным набором карточек, подготовленным в лаборатории экспериментальной патопсихологии Института психиатрии Министерства здравоохранения РСФСР (приложение VIII).
В проведении опыта можно выделить два основных этапа. На первом обследуемый более или менее само
стоятельно образует группы: одежда, мебель, школьные принадлежности, орудия труда, измерительные приборы, люди. Последние две группы, как указывает С. Я. Рубинштейн (1962), представляют наибольшие трудности для выделения. Так, объединение часов, весов, термометра и штанген-циркуля вместе требует выделения наиболее существенного абстрактного признака, выявляющего их сродство. К группе людей относятся различные представители, охарактеризованные на карточках по-разному: представители различных профессий, лыжник и, наконец, ребенок. Выделение обследуемым этих групп свидетельствует об определенной сохранности процессов обобщения и отвлечения.
На втором этапе происходит образование более крупных групп - растений, животных и неодушевленных предметов. Этот этап характеризует более высокую ступень обобщения.
Проведение исследования тщательно протоколируется. Отмечаются правильные и ошибочные группировки. Обследующий может указать больному на допущенную неправильность. При этом важно отметить в протоколе отношение больного к обнаруженной ошибке - исправляет ли он ее, не повторяется ли эта ошибка в последующем. Следует регистрировать рассуждения больного в процессе выполнения задания, так как в них нередко содержится мотивировка ошибочного суждения. Наличие идентичных, одноименных групп (например, две группы одежды, разделение на несколько групп посуды) свидетельствует о недостаточности внимания.